Construir una línea perpendicular a la línea dada.
Podríamos dibujar una línea y tratar de hacerla perpendicular, pero entonces no tenemos garantía que será perfectamente perpendicular.
¿Cómo puedes garantizar que una línea es perpendicular?
Si elegimos dos puntos en la línea perpendicular que están a la misma distancia de la intersección, también estarán a la misma distancia desde cualquier punto sobre la línea con la que empezamos.
Si todavia no tenemos una línea perpendicular, ¿hay otra forma de encontrar los puntos azules?
Si utilizamos el compás para poner un círculo en algún lugar sobre la línea, el círculo incluirá todos los puntos que están a la misma distancia de ese punto, incluyendo los dos puntos azules.
Podemos agregar un segundo círculo en otro lugar en la línea que se cruza con el primer círculo.
Los puntos donde se cruzan los dos círculos pueden ser utilizados para dibujar una línea perpendicular.
Usa una regla para conectar los dos puntos donde se cruzan los círculos. Esta línea es perpendicular a la línea dada.
Construye una línea paralela a la línea dada, que pase por P.
Podríamos dibujar una recta en P y tratar de hacerla paralela, pero entonces no tenemos ninguna garantía de que es perfectamente paralela.
Si teníamos una línea paralela y trazamos una línea desde un punto A en la línea determinada, a través de P, entonces el ángulo en A debe ser igual al ángulo en P.
Por lo tanto, si copiamos el ángulo en A al punto P, seremos capaces de construir líneas paralelas.
Si construimos un triángulo con un vértice en el punto A, y después construimos un triángulo con las mismas longitudes en el punto P, los ángulos en A y P serán los mismos.
Podemos utilizar un compás centrado en A para encontrar todos los punto que tengan una distancia determinada desde A.
Podemos utilizar un compás con el mismo radio centrado en P para encontrar todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de P. Para asegurarnos de tener el mismo radio, primero ponemos el compás en el punto A, ajustamos el radio para que sean iguales, y luego movemos el compás al punto P.
Para encontrar la distancia entre los dos puntos equidistantes de A, podemos agregar el centro del compás en un punto y mover el radio hasta que toque el otro punto.
Ahora mueve el compás hasta el punto donde el trazo del primer compás intersecta la línea que pasa por P.
Ahora podemos usar el punto donde se intersectan los trazos de los dos compases para construir un triángulo con las mismas longitudes laterales que las del triángulo en el punto A.
Finalmente, usa una línea recta para conectar el punto P con la intersección que forman los dos compases. Esta línea será paralela a la línea original.
Construye una mediatriz de \overline{AB}.
\overline{AB}.We could just draw a line and try to get it right, but then we have no guarantee that it's actually perfectly perpendicular or that it bisects the segment at exactly the midpoint.
¿Cómo puedes garantizar que una línea es realmente una bisectriz?
Si elegimos dos puntos sobre la mediatriz que están a la misma distancia de la intersección, también estarán a la misma distancia de los dos extremos del segmento con el que empezamos.
Si todavía no tenemos la mediatriz, ¿hay alguna otra forma de encontrar los puntos azules?
Si utilizamos el compás para poner un círculo centrado en el punto A, el círculo incluirá todos los puntos que están a la misma distancia del punto A, incluyendo los dos puntos azules.
Podemos agregar un segundo círculo en el punto B que intersecta con el primer círculo.
¡Pero espera! Podemos utilizar estos círculos para dibujar una línea perpendicular, pero no una bisectriz. Eso es porque los círculos son de diferentes tamaños.
Una buena manera de hacer los círculos del mismo tamaño es hacer que los radios sean iguales a la distancia entre A y B. Para hacer esto puedes fijar el centro del círculo en un punto y el borde del círculo en el otro punto.
Usa una regla para conectar los dos puntos donde se cruzan los círculos. Esta línea es la mediatriz de \overline{AB}.
Construye la bisectriz para el ángulo dado.
Podríamos dibujar una línea ytratar dividir el ángulo, pero eso puede ser difícil de hacer y no hay garantía que sea una mediatriz perfecta.
Si elegimos cualquiera de los dos puntos en las líneas dadasque están a la misma distancia desde el vértice del ángulo, cada punto en la mediatriz será equidistante desde esos puntos.
Podemos usar el compás centrado en la cima para encontrar dos puntos equidistantes del vértice.
Si usamos dos o más compases centrar en cada uno de los dos puntos, podemos ver que se cruzan, ¡pero no sólo en la bisectriz del ángulo! Eso es porque los dos círculos no son del mismo tamaño.
Una buena forma de hacer círculos del mismo tamaño es poner los bordes juntos para que así pasen a través del vértice.
Usa una regla para conectar el vértice hasta el punto donde los dos últimos círculos se cruzan. Esta línea es la bisectriz del ángulo.
Construye una línea que tenga la misma longitud que \overline{AB}, con un extremo en P.
\overline{AB}.Podríamos dibujar una línea en P y tratar de hacerla de la misma longitud que \overline{AB}, pero entonces no tenemos ninguna garantía de que es en realidad la misma longitud.
¿Cómo podríamos encontrar todos los puntos de la longitud correcta de P?
Si centramos el compás en A y fijamos su radio tal éste intersecte a A, entonces tendremos un compás con un radio de longitud correcta.
Ahora podemos mover el compás a P.
Finalmente, usa una línea recta para conectar el punto P a cualquier punto de la circunferencia que traza el compás.
Construye una copia del ángulo \angle BAC con el vértice en el punto P.
\angle BAC en el punto P.Primero tenemos que dibujar una línea a través de P.
Podríamos dibujar una segunda línea a través de P y tratar de hacer el mismo ángulo \angle BAC, pero eso es algo difícil de hacer y que no habría garantía de que el ángulo será exactamente el mismo.
Si construimos un triángulo con un vértice en el punto A, y después construimos un triángulo con las mismas longitudes en el punto P, los ángulos en A y P serán los mismos.
Podemos usar compás centrado en A y encontrar dos puntos equidistantes a A.
Podemos utilizar un compás con el mismo radio centrado en P para encontrar todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de P. Para asegurarnos de tener el mismo radio, primero ponemos el compás en el punto A, ajustamos el radio para que sean iguales, y luego movemos el compás al punto P.
Para encontrar la distancia entre los dos puntos equidistantes de A, podemos agregar el centro del compás en un punto y mover el radio hasta que toque el otro punto.
Ahora mueve el compás hasta el punto donde el trazo del primer compás intersecta la línea que pasa por P.
Finalmente, usa una regla para conectar el punto P al punto donde se intersectan los trazos de los dos compases. El ángulo formado en el punto P será el mismo que \angle BAC.