Factoriza la siguiente expresión:
COMMONx^COMMON_VAR ? 3 : 2 +
COMMON * LINEARx^COMMON_VAR ? 2 : 1 +
COMMON * CONSTANTCOMMON_VAR ? "x" : ""
COMMONx(x-A)(x-B)
COMMON(x-A)(x-B)
Si notamos que todos los términos tienen un factor común, podemos reescribir la expresión como,
COMMONx(x^2 + LINEARx + CONSTANT).
COMMON(x^2 + LINEARx + CONSTANT).
Ahora concentrémonos en factorizar el polinomio x^2 + LINEARx + CONSTANT.
Cuando factorizamos un polinomio, básicamente estamos revirtiendo el proceso de multiplicar expresiones lineales:
\qquad \begin{eqnarray}
(x + a)(x + b) \quad&=&\quad xx &+& xb + ax &+& ab \\ \\
&=&\quad x^2 &+& \green{(a + b)}x &+& \blue{ab}
\end{eqnarray}
\qquad \begin{eqnarray}
\hphantom{(x + a)(x + b) \quad}&\hphantom{=}&\hphantom{\quad xx }&\hphantom{+}&\hphantom{ (a + b)x }&\hphantom{+} & \\
&=&\quad x^2 &
LINEAR >= 0 ? "+" : ""&
plus( "\\green{" + LINEAR + "}x" )&
CONSTANT >= 0 ? "+" : ""&
plus( "\\blue{" + CONSTANT + "}" )
\end{eqnarray}
El coeficiente en el término x es LINEAR y el término constante es CONSTANT, así que para rehacer los pasos, necesitamos encontrar dos números que sumados den LINEAR y multiplicados den CONSTANT.
Puedes probar diferentes factores de CONSTANT para ver si puedes encontrar dos números que cumplan ambas condiciones. Si estás atorado y no puedes pensar en ningúno, también puedes reescribir las condiciones como un sistema de ecuaciones y tratar de resolver para a y b:
\qquad \pink{a} + \pink{b} = \green{LINEAR}
\qquad \pink{a} \times \pink{b} = \blue{CONSTANT}
Los números -A y -B satisfacen las dos condiciones:
\qquad \pink{-A} + \pink{-B} =
\green{LINEAR}
\qquad \pink{-A} \times \pink{-B} =
\blue{CONSTANT}
Entonces, podemos factorizar el polinomio como:
(x A < 0 ? "+" : "" \pink{-A})(x B < 0 ? "+" : "" \pink{-B})
La expresión totalmente factorizada es: COMMONx(x + -A)(x + -B) COMMON(x + -A)(x + -B)