Ángulos inscritos 1

randRange( 0, 360 ) randRange( 10, 80 ) * 2 ( START + 180 ) % 360 4 CENTRAL $._("azul") $._("Naranja") $._("\u00e1ngulo verde") $._("\u00e1ngulo rosa") $._("\u00e1ngulo naranja")

Si el ángulo GIVEN_LABEL mide GIVEN grados, ¿cuánto mide el ángulo ASKED_LABEL?

Este es un caso especial donde los ángulos azul y anaranjado comparten la misma línea. El ángulo azul es llamado ángulo central y el ángulo anaranjado es llamado ángulo inscrito.

init({range:[[-RADIUS-1,RADIUS+1],[-RADIUS-1,RADIUS+1]]}),addMouseLayer(),graph.circle=new Circle(RADIUS),style({stroke:BLUE,fill:BLUE}),graph.circle.drawCenter(),graph.circle.drawPoint(START),graph.circle.drawPoint(START+CENTRAL),graph.circle.drawCentralAngle(START,START+CENTRAL),style({stroke:ORANGE,fill:ORANGE}),graph.circle.drawInscribedAngle(SUBTENDED_POINT,START,START+CENTRAL),graph.circle.drawMovablePoint(SUBTENDED_POINT,START+CENTRAL,START)

CENTRAL / 2 grados

Los ángulos azul y verde son suplementarios. Puesto que el ángulo azul es de CENTRAL grados, el ángulo verde debe de ser de 180 - CENTRAL grados.

style({stroke:GREEN},function(){graph.circle.drawCentralArc(START+CENTRAL,SUBTENDED_POINT)})

Sabemos que los ángulos en un triángulo suman 180 grados.

style({stroke:PINK},function(){graph.circle.drawInscribedArc(START+CENTRAL,SUBTENDED_POINT,START+CENTRAL+180)})

\color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}} + \color{PINK}{\text{PINK_ANGLE}} + \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = 180^{\circ}

Los lados rosas del triángulo son radios, así que deben ser iguales.

style({stroke:PINK},function(){graph.circle.drawRadius(START+CENTRAL),graph.circle.drawRadius(SUBTENDED_POINT)})

Esto significa que el triángulo es isósceles y que los ángulos de la base, o ángulos verde y rosa, son iguales.

\color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}} + 2 \cdot \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = 180^{\circ}

2 \cdot \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = 180^{\circ} - \color{GREEN}{180 - CENTRAL^{\circ}}

2 \cdot \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{ORANGE}{CENTRAL / 2^{\circ}}

CENTRAL / 2 $._("Naranja") $._("azul") $._("\u00e1ngulo verde") $._("\u00e1ngulo rosa") $._("\u00e1ngulo naranja") $._("\u00e1ngulo azul")

CENTRAL grados

Los lados rosas del triángulo son radios, así que son iguales. Esto significa que el triángulo es isósceles y que los ángulos de la base, o los ángulos rosa y anaranjado son iguales.

style({stroke:PINK},function(){graph.circle.drawRadius(START+CENTRAL),graph.circle.drawRadius(SUBTENDED_POINT)}),style({stroke:PINK},function(){graph.circle.drawInscribedArc(START+CENTRAL,SUBTENDED_POINT,START+CENTRAL+180)})

Sabemos que los ángulos en un triángulo suman 180 grados.

style({stroke:GREEN},function(){graph.circle.drawCentralArc(START+CENTRAL,SUBTENDED_POINT)})

\color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}} + \color{PINK}{\text{PINK_ANGLE}} + \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = 180^{\circ}

Los ángulos verde y azul son suplementarios.

\color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}} + \color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 180^{\circ}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 180^{\circ} - \color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 180^{\circ} - \color{GREEN}{\text{180 - CENTRAL}^{\circ}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}

randRange( 0, 360 ) randRange( 10, 80 ) * 2 randRange( START + 180 + 5, START + CENTRAL + 180 - 5 ) % 360 4 CENTRAL $._("azul") $._("Naranja") $._("\u00e1ngulo naranja") $._("\u00e1ngulo azul")

Si el ángulo GIVEN_LABEL mide GIVEN grados, ¿cuánto mide el ángulo ASKED_LABEL?

Este es un caso especial donde el centro del círculo está dentro del ángulo inscrito anaranjado. El ángulo azul es llamado ángulo central.

init({range:[[-RADIUS-1,RADIUS+1],[-RADIUS-1,RADIUS+1]]}),addMouseLayer(),graph.circle=new Circle(RADIUS),style({stroke:BLUE,fill:BLUE}),graph.circle.drawCenter(),graph.circle.drawPoint(START),graph.circle.drawPoint(START+CENTRAL),graph.central=graph.circle.drawCentralAngle(START,START+CENTRAL),style({stroke:ORANGE,fill:ORANGE}),graph.inscribed=graph.circle.drawInscribedAngle(SUBTENDED_POINT,START,START+CENTRAL),graph.circle.drawMovablePoint(SUBTENDED_POINT,START+CENTRAL,START)

CENTRAL / 2 grados

¿Qué sabemos acerca de los sub-ángulos formados por el diámetro punteado que se muestra arriba?

style({stroke:BLUE,"stroke-dasharray":"-"},function(){graph.circle.drawChord(SUBTENDED_POINT,SUBTENDED_POINT+180)})

Si sólo vemos los sub ángulos dibujados ahora, podemos ver que ¡éste es el caso especial del ejercicio anterior de ángulos inscritos!

Sabemos que el sub-ángulo anaranjado mide la mitad del sub-ángulo azul.

graph.inscribed.arc.animate({opacity:.4}),graph.central.arc.animate({opacity:.4}),style({stroke:BLUE}),graph.centralSub=graph.circle.drawCentralArc(SUBTENDED_POINT+180,START+CENTRAL,.7),style({stroke:ORANGE}),graph.inscribedSub=graph.circle.drawInscribedArc(SUBTENDED_POINT,SUBTENDED_POINT+180,START+CENTRAL,.7)

De forma similar, el otro sub-ángulo anaranjado mide la mitad del otro sub-ángulo azul, como se muestra.

graph.centralSub.remove(),graph.inscribedSub.remove(),style({stroke:BLUE}),graph.centralSub=graph.circle.drawCentralArc(START,SUBTENDED_POINT+180,.7),style({stroke:ORANGE}),graph.inscribedSub=graph.circle.drawInscribedArc(SUBTENDED_POINT,START,SUBTENDED_POINT+180,.7)

Si ambos sub-ángulos anaranjados son la mitad de ambos sub-ángulos azules, entonces sabemos que el ángulo anaranjado original es la mitad del ángulo azul original.

graph.centralSub.remove(),graph.inscribedSub.remove(),graph.inscribed.arc.animate({opacity:1}),graph.central.arc.animate({opacity:1})

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{ORANGE}{CENTRAL / 2^{\circ}}

CENTRAL / 2 $._("Naranja") $._("azul") $._("\u00e1ngulo azul") $._("\u00e1ngulo naranja")

CENTRAL grados

¿Qué sabemos acerca de los sub-ángulos formados por el diámetro punteado que se muestra arriba?

style({stroke:BLUE,"stroke-dasharray":"-"},function(){graph.circle.drawChord(SUBTENDED_POINT,SUBTENDED_POINT+180)})

Si sólo vemos los sub ángulos dibujados ahora, podemos ver que ¡éste es el caso especial del ejercicio anterior de ángulos inscritos!

Sabemos que el sub-ángulo anaranjado mide la mitad del sub-ángulo azul.

De forma similar, el otro sub-ángulo anaranjado mide la mitad del otro sub-ángulo azul, como se muestra.

Si ambos sub-ángulos azules son el doble que ambos sub-ángulos anaranjados, entonces sabemos que el ángulo azul es el doble del ángulo anaranjado.

graph.centralSub.remove(),graph.inscribedSub.remove(),graph.inscribed.arc.animate({opacity:1}),graph.central.arc.animate({opacity:1})

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 2 \cdot \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 2 \cdot \color{ORANGE}{CENTRAL / 2^{\circ}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}

randRange( 0, 360 ) randRange( 10, 80 ) * 2 randFromArray([randRange(START+CENTRAL+5,START+180-5),randRange(START+CENTRAL+180+5,START+360-5)])%360 4 CENTRAL $._("azul") $._("Naranja") $._("\u00e1ngulo verde") $._("\u00e1ngulo azul") $._("\u00e1ngulo rosa") $._("\u00e1ngulo verde peque\u00f1o") $._("\u00e1ngulo naranja") $._("\u00e1ngulo verde grande") $._("\u00e1ngulo rosa peque\u00f1o") $._("\u00e1ngulo rosa grande")

Si el ángulo GIVEN_LABEL mide GIVEN grados, ¿cuánto mide el ángulo ASKED_LABEL?

Este es un caso especial donde el centro del círculo está fuera del ángulo inscrito anaranjado. El ángulo azul es llamado ángulo central.

CENTRAL / 2 grados

¿Qué sabemos acerca de los ángulos formados por el diámetro punteado que se muestran arriba?

style({stroke:BLUE,"stroke-dasharray":"-"},function(){graph.circle.drawChord(SUBTENDED_POINT,SUBTENDED_POINT+180)})

De los ejercicios anteriores sobre ángulos sabemos lo siguiente acerca de los ángulos verde y rosa.

\color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{PINK}{\text{PINK_ANGLE}}

style({stroke:BLUE,fill:BLUE},function(){graph.circle.drawPoint(SUBTENDED_POINT+180)}),style({stroke:PINK});var arc=innerArc(START,(SUBTENDED_POINT+180)%360);graph.central=graph.circle.drawCentralAngle(arc.start,arc.end,.7),style({stroke:GREEN}),graph.inscribed=graph.circle.drawInscribedAngle(SUBTENDED_POINT,arc.start,arc.end,.7)

Podemos ver otro par de ángulos inscritos y centrales de este caso especial con la misma relación entre los ángulos verde y rosa.

graph.central.arc.animate({opacity:.4}),graph.central.radii[0].remove(),graph.central.radii[1].remove(),graph.inscribed.arc.animate({opacity:.4}),graph.inscribed.chords[0].remove(),graph.inscribed.chords[1].remove();var arc=innerArc(START+CENTRAL,(SUBTENDED_POINT+180)%360);style({stroke:PINK}),graph.central=graph.circle.drawCentralAngle(arc.start,arc.end,.9),style({stroke:GREEN}),graph.inscribed=graph.circle.drawInscribedAngle(SUBTENDED_POINT,arc.start,arc.end,.9)

Observando la figura podemos ver que lo siguiente es cierto:

\color{GREEN}{\text{SMALL_GREEN_ANGLE}} + \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{GREEN}{\text{BIG_GREEN_ANGLE}}

Sustituyendo lo que sabemos sobre los ángulos verde y rosa, obtenemos lo siguiente:

\dfrac{1}{2} \cdot \color{PINK}{\text{SMALL_PINK_ANGLE}} + \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{PINK}{\text{BIG_PINK_ANGLE}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2}( \color{PINK}{\text{BIG_PINK_ANGLE}} - \color{PINK}{\text{SMALL_PINK_ANGLE}})

Podemos apreciar de la figura que lo siguiente también es cierto:

\color{PINK}{\text{SMALL_PINK_ANGLE}} + \color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = \color{PINK}{\text{BIG_PINK_ANGLE}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = \color{PINK}{\text{BIG_PINK_ANGLE}} - \color{PINK}{\text{SMALL_PINK_ANGLE}}

Combinando lo que sabemos sobre los ángulos azul y anaranjado:

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{ORANGE}{CENTRAL / 2^{\circ}}

CENTRAL / 2 $._("Naranja") $._("azul")

CENTRAL grados

¿Qué sabemos acerca de los ángulos formados por el diámetro punteado que se muestran arriba?

style({stroke:BLUE,"stroke-dasharray":"-"},function(){graph.circle.drawChord(SUBTENDED_POINT,SUBTENDED_POINT+180)})

De los ejercicios anteriores sobre ángulos sabemos lo siguiente acerca de los ángulos verde y rosa.

\color{PINK}{\text{PINK_ANGLE}} = 2 \cdot \color{GREEN}{\text{GREEN_ANGLE}}

Podemos ver otro par de ángulos inscritos y centrales de este caso especial con la misma relación entre los ángulos verde y rosa.

Observando la figura podemos ver que lo siguiente es cierto:

\color{PINK}{\text{SMALL_PINK_ANGLE}} + \color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = \color{PINK}{\text{BIG_PINK_ANGLE}}

Sustituyendo lo que sabemos sobre los ángulos verde y rosa, obtenemos lo siguiente:

2 \cdot \color{GREEN}{\text{SMALL_GREEN_ANGLE}} + \color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 2 \cdot \color{GREEN}{\text{BIG_GREEN_ANGLE}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 2( \color{GREEN}{\text{BIG_GREEN_ANGLE}} - \color{GREEN}{\text{SMALL_GREEN_ANGLE}})

Podemos apreciar de la figura que lo siguiente también es cierto:

\color{GREEN}{\text{SMALL_GREEN_ANGLE}} + \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{GREEN}{\text{BIG_GREEN_ANGLE}}

\color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}} = \color{GREEN}{\text{BIG_GREEN_ANGLE}} - \color{GREEN}{\text{SMALL_GREEN_ANGLE}}

Combinando lo que sabemos sobre los ángulos azul y anaranjado:

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 2 \cdot \color{ORANGE}{\text{ORANGE_ANGLE}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = 2 \cdot \color{ORANGE}{CENTRAL / 2^{\circ}}

\color{BLUE}{\text{BLUE_ANGLE}} = \color{BLUE}{CENTRAL^{\circ}}