There are STUDENTS students in a class: BOYS boys and
GIRLS girls.
Si un profesor elige un grupo de GROUP al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos en el grupo sean hombres?Si el profesor elige un grupo de GROUP al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos en el grupo sean mujeres?
Otra forma de resolver este problema es averiguar cuántos grupos diferentes hay sólo de chicos, después dividir esto entre el número total de grupos que puedes escoger. Como cada grupo es elegido con la misma probabilidad, esta será la probabilidad de que un grupo de puros chicos sea elegido.
Otra forma de resolver este problema es averiguar cuántos grupos diferentes hay sólo de chicas, después dividir esto entre el número total de grupos que puedes escoger. Como cada grupo es elegido con la misma probabilidad, esta será la probabilidad de que un grupo de puras chicas sea elegido.
Conocemos dos formas de contar el número de grupos que podemos elegir: podemos usar permutaciones si el orden importa y combinaciones si no importa. ¿Importa el orden en que se eligen los estudiantes en este caso?
No importa si elegimos a John y luego a Ben, o a Ben y luego a John, el orden no debe importar. Así que el número de maneras de elegir un grupo de GROUP ESTUDIANTES de un total de STUDENTS es \dfrac{STUDENTS!}{(STUDENTS-GROUP)!GROUP!} = \binom{STUDENTS}{GROUP}. [Muéstrame por qué]
No importa si elegimos primero a Julia y luego a Beatrice, o a Beatrice y luego a Julia, el orden no debe importar. Así que el número de maneras de elegir un grupo de GROUP ESTUDIANTES de un total de STUDENTS es \dfrac{STUDENTS!}{(STUDENTS-GROUP)!GROUP!} = \binom{STUDENTS}{GROUP}. [Muéstrame por qué]
Remember that the
STUDENTS! \; and (STUDENTS-GROUP)! \; terms come from when we
fill up the group, making STUDENTS
choices for the first slot, then STUDENTS-1 choices for the
second, and so on. In this way, we end up making
_.map(_.range(GROUP), function(l){ return (STUDENTS-l);}).join("\\cdot")
= \dfrac{STUDENTS!}{(STUDENTS-GROUP)!} \;.
The GROUP! \; term comes from the number of times we've counted
a group as different because we chose the students in a different order.
There are GROUP! \;
ways to order a group of GROUP, so for every group, we've overcounted exactly
that many times.
Podemos usar la misma lógica para contar el número de grupos que sólo tienen chicos.
Podemos usar la misma lógica para contar el número de grupos que sólo tienen chicas.
Específicamente, el número de forma de elegir un grupo de GROUP estudiantes de un total de NUM_B es \dfrac{NUM_B!}{(NUM_B-GROUP)!GROUP!} = \binom{NUM_B}{GROUP}.
Así, la probabilidad de que el profesor elija un grupo de puros chicos es el número de grupos de puros chicos dividido entre el número de grupos totales que el profesor podría elegir.
Así, la probabilidad de que el profesor elija un grupo de puras chicas es el número de grupos de puras chicas dividido entre el número de grupos totales que el profesor podría elegir.
Esto es \displaystyle \frac{\frac{NUM_B!}{(NUM_B-GROUP)!\cancel{GROUP!}}} {\frac{STUDENTS!}{(STUDENTS-GROUP)!\cancel{GROUP!}}} = \frac{\frac{NUM_B!}{NUM_B-GROUP!}}{\frac{STUDENTS!}{STUDENTS-GROUP!}}
Podemos reorganizar los términos para hacer más fácil la simplificación \left(\dfrac{NUM_B!}{NUM_B-GROUP!}\right) \left(\dfrac{STUDENTS-GROUP!}{STUDENTS!}\right) = \left(\dfrac{NUM_B!}{STUDENTS!}\right) \left(\dfrac{STUDENTS-GROUP!}{NUM_B-GROUP!}\right)
Simplificando, obtenemos \left(\dfrac{\cancel{NUM_B!}}{_.map(_.range(STUDENTS-NUM_B), function(l){ return (STUDENTS-l); }).join("\\cdot") \cdot \cancel{NUM_B!}}\right) \left(\dfrac{_.map(_.range(STUDENTS-NUM_B), function(l){ return (STUDENTS-GROUP-l); }).join("\\cdot") \cdot \cancel{(NUM_B-GROUP)!}}{\cancel{NUM_B-GROUP!}}\right) = \left(\dfrac{1}{factorial(STUDENTS)/factorial(NUM_B)}\right) \left(factorial(STUDENTS-GROUP)/factorial(NUM_B-GROUP)\right) = \dfrac{PRETTY_NUM}{PRETTY_DEM}
Si lanzas una moneda al aire COINS veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas exactamente NUM NAME?
PRETTY_NUMER/PRETTY_DENOM
Una forma de resolver el problema es averiguar de cuántas formas puedes obtener exactamente NUM NAME, después dividir esto entre el número total de resultados que pudiste haber obtenido. Como cada resultado tiene la misma probabilidad, está será la probabilidad de que obtengas exactamente NUM NAME.
¿Cuántos resultados posible hay donde obtengas exactamente NUM NAME? Intenta pensar en cada resultado como una palabra de letras COINS, así la primera letra es "C" si el primer tiro fue cara y "X" si fue cruz, y así sucesivamente.
Así, el número exacto de resultados con exactamente NUM NAME es el mismo que el número de palabras que tienen NUM C's y COINS-NUM X's.
Así, el número de resultados con exactamente NUM NAME es el mismo que el número de palabras que tienen NUM X's y COINS-NUM C's.
¿Cuántos de estos hay? Si tratamos todas las letras como únicas, encontraremos que hay COINS! arreglos diferentes, contando NUM! veces de más por cada vez que sólo cambiamos las C's de lugar y COINS-NUM! veces por cada vez que sólo cambiamos las X's de lugar. [Muéstrame por qué]
¿Cuántas de estas hay? Si tratamos todas las letras como únicas, encontraremos que hay COINS! arreglos diferentes, contando NUM! veces de más por cada vez que sólo cambiamos las X's de lugar y COINS-NUM! veces de más por cada vez que sólo cambiamos las C's de lugar. [Muéstrame por qué]
5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5! = 120 \; arreglos diferentes. Pero esto trata de la misma manera a las letras, cuando 3! de estos arreglos multicolores para cada uno, así que eso significa que hay que dividir nuestra primera cuenta de 5! entre 3!. Por lo mismo, necesitamos dividir entre 2! para evitar sobrecontar cada permutación donde sólo movemos las letras de lugar. Así, el número de arreglos es \dfrac{5!}{3!2!} = \binom{5}{3}.Así, hay \dfrac{COINS!}{NUM!COINS-NUM!} = NUM_RIGHT resultados diferentes donde obtienes exactamente NUM NAME. [¿Cuántos resultados hay en total?]
Juntas, hay 2^{COINS} = NUM_ALL resultados posibles totales.
Así, la probabilidad de que obtengas exactamente NUM NAME es \dfrac{NUM_RIGHT}{NUM_ALL} = \dfrac{PRETTY_NUMER}{PRETTY_DENOM}.
Así, la probabilidad de que obtengas exactamente NUM NAME es \dfrac{NUM_RIGHT}{NUM_ALL}.